MAKALAH BANGUN DATAR

MAKALAH

SEGITIGA, SEGIEMPAT DAN TEOREMA PHYTAGORAS

Diajukan Untuk Memenuhi Tugas Matematika Sekolah I

Dosen Pengampu Mata kuliah :

Rudy Antonius, S.Pd, M.Pd

Disusun Oleh:

1. Friescha Azizatun Nisa (1431037)

2. Siti Masnunah (1531069)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) PGRI SIDOARJO

2015

MATERI

A. SEGITIGA

1. Pengertian Segitiga

Sisi-sisi yang membentuk segitiga ABC berturut-turut adalah AB , BC , dan AC. Sudut-sudut yang terdapat pada segitiga ABC sebagai berikut :

a. < A atau < BAC atau < CAB.

b. < B atau < ABC atau < CBA.

c. < C atau < ACB atau < BCA.

Segitiga adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga buah sisi dan mempunyai tiga buah titik sudut . Segitiga biasanya dilambangkan dengan ‘Δ’

a. Jika alas = AB maka tinggi = CD (CD ┴ AB ).

b. Jika alas = BC maka tinggi = AE (AE ┴ BC ).

c. Jika alas = AC maka tinggi = BF (BF ┴ AC).

Catatan : symbol “┴” dibaca : tegak lurus

Jadi , pada suatu segitiga setiap sisinya dapat dipandang sebagai alas dimana tinggi tegak lurus alas. Alas segitiga merupakan salah satu sisi dari suatu segitiga , sedangkan tingginya adalah garis yang tegak lurus dengan sisi alas dan melalui titik sudut yang berhadapan dengan sisi alas .

2. Jenis – Jenis Segitiga

Jenis-jenis suatu segitiga dapat ditinjau berdasarkan .

a. Panjang sisinya ;

b. Besar sudut-sudutnya;

c. Panjang sisi dan besar sudutnya;

a. Jenis-jenis segitiga ditinjau dari panjang sisinya.

(i) Segitiga sebarang.

Adalah segitiga yang disisi-sisinya tidak sama panjang AB ≠ BC ≠ AC

Sifat – sifat segitiga sebarang yaitu :

1. Mempunyai 3 sisi yang tidak sama panjang.

2. Tidak memiliki simetri lipat. Tidak memiliki simetri putar

(ii) Segitiga sama kaki

adalah segitiga yang mempunyai dua buah sisi sama panjang yaitu, AB = BC

Sifat – sifat segitiga sama kaki adalah :

1. Segitiga sama kaki, apabila diputar satu putaran penuh akan menempati bingkainya dengan tepat satu cara, maka segitiga samakaki mempunyai simetri putar tingkat satu.

2. Segitiga sama kaki mempunyai satu sumbu simetri.

Contoh :

(iii) Segitiga sama sisi

Segitiga samasisi mempunyai tiga buah sisi yang sama panjang, maka ketiga sudutnya juga sama besar, yaitu 60° (Jumlah ketiga sudut Δ = 180°). Untuk mengetahui sifat-sifat segitiga samasisi lainnya, perhatikanlah uraian berikut ini :

Pada gambar diatas (b) – (d) terlihat bahwa segitiga ABC dapat menempati bingkainya tepat dengan 3 cara yaitu, diputar sejauh 120° dengan pusat titik O (lihat arah putaran) Gambar 8.4b, kemudian diputar sejauh 240° dengan pusat putaran O (Gambar 8.4c) dan diputar 360° (1 putaran penuh) dengan titik pusat O (Gambar 8.4.d). Jadi segitiga ABC mempunyai simetri putar tingkat 3. Sedangkan gambar e, f, dan g dengan cara membalik dapat menempati bingkai secara tepat. Dalam hal ini segitiga ABC mempunyai 3 sumbu simetri. Pada gambar di atas, sumbu simetrinya adalah , BF, dan AE . Jadi, segitiga sama sisi dapat menempati bingkainya secara tepat dengan 6 cara.

Dari uraian diatas maka sifat – sifat segitiga sama sisi adalah, Segitiga sama sisi mempunyai simetri putar tingkat 3, tiga sumbu simetri, tiga sisi sama panjang, tiga sudut sama besar yaitu 60^o, dan dapat menempati bingkainya dengan 6 cara.

b. Jenis - jenis segitiga ditinjau dari besar sudutnya

1) Sudut lancip (0^o < x < 90^o )

adalah segitiga yang ketiga sudutnya merupakan sudut lancip, sehingga sudutnya besarnya antara 0^o dan 90^o

2) Sudut tumpul (90^o < x < 180^o )

adalah segitiga yang salah satu sudutnya adalah sudut tumpul, pada gambar disamping ∟ABC adalah sudut tumpul.

3) Sudut siku - siku (180^o < x < 360^o )

adalah salah satu sudutnya merupakan sudut siku-siku (Besarnya 90^o)

c. Jenis-jenis segitiga tinjau dari panjang sisi dan besar sudutnya

1) Segitiga siku-siku sama kaki

adalah segitiga yang kedua sisinya sama panjang dan salah satu sudutnya siku-siku (Besarnya 90^o)

pada gambar diatas ΔABC siku-siku di titik A, dengan AB=AC

2) Segitiga tumpul sama kaki

adalah segitiga yang kedua sisinya sama panjang dan salah satu sudutnya merupakan sudut tumpul. Pada gambar disamping adalah sudut tumpul ΔABC adalah ∟A dengan AB = BC

3. Sifat-sifat Segitiga Istimewa

Segitiga istimewa adalah segitiga yang mempunyai sifat-sifat khusus ( istimewa ).

a. Segitiga siku-siku

Besar salah satu sudut pada segitiga siku siku adalah 90° .

b. Segitiga sama kaki

Segitiga sama kaki dapat dibentuk dari dua buah segitiga siku-siku yang sama besar dan sebangun. Segitiga sama kaki mempunyai dua buah sisi yang sama panjang dan dua buah sudut yang sama besar. Segitiga sama kaki mempunyai sebuah sumbu simetri yang sama panjang dan dua buah sudut yang sama besar.

c. Segitiga sama sisi

Segitiga sama sisi mempunyai 3 buah sisi yang sama panjang dan tiga buah sudut yang sama besar . Setiap segitiga sama sisi mempunyai 3 sumbu simetri.

4. Hubungan Panjang Sisi Dengan Besar Sudut Pada Segitiga

a. Ketidaksamaan segitiga .

Pada setiap segitiga selalu berlaku bahwa jumlah dua buah sisinya selalu lebih panjang dari pada sisi ketiga. Jika suatu segitiga memiliki sisi a , b, dan c maka berlaku salah satu dari ketidaksamaan berikut .

(i) a + b > c

(ii) a + c > b

(iii) b + c > a

Ketidaksamaan tersebut disebut ketidaksamaan segitiga .

b. Hubungan Besar Sudut Dan Panjang Sisi Suatu Segitiga .

Pada setiap segitiga berlaku sudut terbesar terletak berhadapan dengan sisi terpanjang , sedangkan sudut terkecil terletak berhadapan dengan sisi terpendek.

c. Hubungan Sudut Dalam dan Sudut Luar Segitiga .

Besar sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak berpelurus dengan sudut luar tersebut .

Pada gambar ΔABC disamping, sisi AB diperpanjang sehingga membentuk garis lurus ABD.

Segitiga ABC beraku

∟BAC + ∟ABC + ∟ACB = 180^o (Sudut dalam ΔABC)

∟BAC + ∟ACB = 180^o - ∟ABC………(i)

Padahal ∟ABC + ∟CBD = 180 (Perluas)

∟CBD = 180^o + ∟ABC…..(ii)

Selanjutnya ∟CBD disebut sudut luar segitiga ABC ,

Sehingga diperoleh ∟CBD = ∟BAC + ∟ACB

5. Keliling Dan Luas Segitiga

a. Keliling Segitiga

Keliling ΔABC = AB +BC +AC

= c + a + b

= a + b + c

Jadi , keliling ΔABC adalah a + b + c .

K = a + b + c

b. Luas Segitiga

Luas ΔADC = ½ x luas persegi panjang ADCE dan

Luas ΔBDC = ½ x luas persegi panjang BDCF.

Luas ΔABC = luas ADC + luas BDC

= ½ x luas ADCE + ½ x luas BDCF

= ½ x AD x CD + ½ x BD x CD

= ½ x CD x ( AD + BD )

= ½ x CD x AB

Secara umum luas segitiga dengan panjang alas a dan tinggi t adalah :

L = ½ x a x t

6. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan Keliling dan Luas Segitiga

1. Sebuah syal berbentuk segitiga sama kaki dengan panjang sisi yang sama 12 cm dan panjang sisi lainnya 30 cm. Jika tinggi syal tersebut 9 cm, tentukan :

a. keliling syal;

b. luas syal.

Penyelesaian:

Dari keterangan pada soal di atas, dapat digambarkan sebagai berikut :

a. Keliling syal

K = a + b + c

= 12 cm + 12 cm + 30 cm = 54 cm

b. Luas syal = ½ x alas x tinggi
Luas syal = ½ x 30 cm x 9 cm
Luas syal = 135 cm

2.Sebuah lapangan berbentuk segitiga dengan panjang masing-masing sisinya adalah 2a m, 4a m, dan 6a m. Jika keliling dari lapangan tersebut sebesar 144 m, tentukanlah panjang sisi terpendek dari lapangan tersebut.

Penyelesaian:

K = a + b + c

144 = 2a + 4a + 6a

144 = 12a

a = 12 meter

Jadi, panjang sisi terpendeknya adalah

2a = 2 × 12 = 24 m.

3. Pak Ifni ingin menanam rumput pada bekas kebun bunganya. Kebun tersebut berbentuk segitiga siku-siku dengan ukuran 6 m × 10 m. Harga bibit rumput Rp25.000,00 per m². Tentukanlah uang yang harus dikeluarkan Pak Ifni.

Penyelesaian:
L = ½ × alas × tinggi

= ½ × 6 × 10 = 30 m²

Karena harga bibit Rp25.000,00 per m² maka Pak Ifni harus mengeluarkan uang sebanyak:

30 × Rp25.000,00 = Rp75.000,00.

7. Melukis Segitiga

Untuk melukis segitiga dapat dilakukan dengan menggunakan jangka, busur derajat, dan penggaris.

a. Melukis segitiga sama kaki dan sama sisi dengan menggunakan jangka dan penggaris

· Melukis segitiga sama kaki

Misalkan diminta melukis segitiga ABC sama kaki, supaya kamu dapat melukisnya, ikutilah langkah-langkah berikut :

1. Dengan menggunakan penggaris tariklah garis AB .

2. Buat busur dengan jari-jari sebarang yang berpusat di titik A dan B, sehingga berpotongan di satu titik di luar garis AB dan beri nama titik C.

3. Hubungkan titik A dan C dengan titik C, maka terjadi segitiga ABC sama kaki seperti gambar dibawah ini.

· Melukis segitiga sama sisi

Misalkan kamu diminta melukis sebuah segitiga ABC sama sisi, agar kamu dapat melukisnya ikutilah langkah-langkah berikut:

1. Tarik garis AB dengan panjang sebarang.

2. Buat busur dengan panjang jari-jarinya adalah AB dan pusatnya di titik A dan B, kedua busur itu berpotongan di satu titik dan beri nama titik C.

3. Hubungkan titik A dan B ke titik C, maka diperoleh segitiga ABC sama sisi yang diminta

b. Melukis sebuah segitiga apabila diketahui ketiga sisinya (S – S – S)

Pada gambar diketahui tiga potong garis, yaitu : AB = 5 cm, BC = 6 cm, dan AC = 3 cm. Lukislah segitiga ABC.

1. tarik garis l

2. ukurkan panjang AB pada l

3. buat busur berpusat di B dengan jari-jari 6 cm

4. buat busur berpusat di A dengan jari-jari 3 cm, sehingga kedua busur itu berpotongan di titik C.

5. hubungkan titik A dan B dengan C.

6. segitiga ABC selesai dilukis.

c. Melukis segitiga jika diketahui sisi, sudut, sisi (sisi-sudut-sisi)

Lukislah segitiga ABC, jika diketahui panjang sisi AB , sisi AC , dan besar sudut A seperti pada gambar berikut :

Lukis:

1. tarik garis l

2. ukurkan panjang AB pada l

3. ukur besar sudut A (diketahui) di titik A

4. ukurkan panjang AC

5. hubungkan titik A dan B dengan titik C

6. segitiga ABC selesai dilukis

d. Melukis segitiga jika diketahui sudut, sisi, dan sudut (sudut-sisi-sudut)

Lukislah segitiga ABC, jika diketahui, panjang AB = 8 cm, Ð A = 60^o, dan Ð B = 30^o.

Lukisan:

1. Tarik garis AB panjangnya 8 cm, Ð A = 60^o

2. pindahkan Ð A = 60^o

3. pindahkan Ð B = 30^o

4. kaki Ð A dan Ð B berpotongan di C

5. segitiga ABC selesai dilukis.

e.Melukis segitiga jika diketahui sisi, sisi, dan sudut (s, s, sd)

Lukis segitiga ABC, jika diketahui panjang AB = 5 cm, AC = 4 cm, dan Ð B = 45^o

Lukis:

1. ukur panjang AB = 5 cm

2. pindahkan sudut B = 45^o

3. buat busur dengan pusat A dan jari-jari 4 cm, busur tersebut memotong kaki sudut B di C₁ dan C₂.

4. hubungkan titik B dengan C₁ dan C₂

5. segitiga ABC selesai dilukis

f. Melukis Garis-garis Istimewa pada Segitiga

· Melukis garis tinggi pada segitiga

Misalkan kita mau melukis garis tinggi segitiga ABC yang melalui titik C. Untuk itu, ikutilah langkah-langkah berikut:

i. buat busur lingkaran berpusat di C dengan jari-jari sebarang hingga memotong garis AB di titik P dan Q,

ii. buat busur berpusat di titik P dan Q dengan jari-jari tetap, sehingga kedua busur itu berpotongan di S,

iii. hubungkan titik C dan S sehingga memotong AB di titik D. Garis CD adalah garis tinggi segitiga ABC melalui titik C.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa:

· Melukis garis bagi pada segitiga

Untuk melukis garis bagi pada segitiga gunakan cara-cara melukis garis bagi sudut. Misalkan kita akan melukis garis bagi segitiga ABC yang melalui titik C. Untuk ini ikutilah langkah-langkah berikut:

1. Buat busur berpusat di titik C dengan jari-jari sebarang, sehingga memotong sisi CA dan CB di titik P dan Q.

2. Buat busur berpusat di titik P dan Q dengan jari-jari tetap, sehingga kedua busur itu berpotongan di titik T.

3. Hubungkan C dengan T, sehingga memotong AB di titik D. Garis CD adalah garis bagi yang ditarik dari titik C, sehingga ÐACD = ÐBCD.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa:

· Melukis garis berat pada segitiga

Misalkan kita akan melukis garis berat pada DABC melalui C. Perhatikanlah langkahlangkah untuk melukisnya.

1. Gambar segitiga ABC

2. Buatlah busur berpusat di A dan B dengan panjang jari-jari tetap. Kedua busur lingkaran itu berpotongan di M dan N. Garis MN memotong AB di D

3. Hubungkan titik C dan D, yaitu garis CD . Garis CD adalah garis bagi segitiga ABC dari titik C, sehingga AD = BD

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa:

· Melukis garis sumbu pada segitiga

Untuk melukis garis sumbu sisi-sisi suatu segitiga, digunakan cara-cara menulis sumbu sebuah ruas garis. Buat busur lingkaran yang berpusat di titik A dan B dengan jari-jari tetap. Kedua busur lingkaran berpotongan di titik M dan N. Hubungkan titik M dan N, sehingga memotong AB di titik O. Garis MN adalah garis sumbu AB .

Dari uraian di atas disimpulkan bahwa:

B. SEGI EMPAT

1. Pengertian

Segi empat adalah bangun datar yang mempunyai empat buah sisi atau terbentuk oleh empat buah sisi. Macam-macam segiempat antara lain :

· Persegi panjang

· Persegi

· Jajar genjang

· Trapesium

· Belah ketupat

· Layang - layang

2. Persegi Panjang

Persegi panjang adalah bangun datar yang mempunyai sisi berhadapan yang sama panjang, dan memiliki empat buah titik sudut siku-siku.

Sifat-sifat persegi panjang :

· Sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.

· Mempunyai 4 sudut siku-siku 90⁰.

· Mempunyai 2 diagonal yang sama panjang

· Kedua diagonalnya berpotongan di satu titik dan saling membagi dua sama panjang

· Mempunyai 2 simetri lipat.

· Mempunyai 2 simetri putar

Contoh Soal Persegi Panjang :

1. Suatu persegi panjang mempunyai panjang = 8 cm dan lebar = 5 cm, Berapa Luas dan keliling persegi panjang itu ?

Jawab :

· Luas = p x l

= 8 cm x 5 cm

= 40 cm2

· Keliling = 2 (p+l)

= 2 ( 8cm+ 5 cm)

= 2 x 13 cm

= 26 cm

2. Suatu persegi panjang mempunyai luas = 70 cm2 dan panjang 10 cm, Berapa lebar dan keliling persegi panjang tersebut ?

Jawab:

· Luas = p x l

L = Luas / p

L = 70 cm²/ 10 cm

L = 7 cm

· Keliling = 2 (10cm+7cm)

= 2 x 17 cm

= 34 cm

3. Persegi

Persegi adalah bangun datar yang keempat sisinya sama panjang dan keempat sudutnya siku-siku.

Sifat-sifat persegi :

Sisi-sisi yang berhadapan sejajar.
Panjang keempat sisinya sama.
Mempunyai 4 titik sudut siku-siku.
Panjang diagonal-diagonalnya sama dan saling membagi dua sama panjang.
Setiap sudutnya dibagi dua sama ukuran oleh diagonal-diagonalnya.
Diagonal-diagonalnya berpotongan saling tegaklurus.
Mempunyai 4 simetri lipat.

· Mempunyai 4 simetri putar

Contoh Soal Persegi :

Berapa luas dan keliling bujur sangkar yang mempunyai panjang sisi 5 cm ?

Jawab :

· Luas = sisi x sisi

= 5 cm x 5 cm

= 25 cm2 (satuan luas adalah persegi)

· Keliling = 4 x sisi

= 4 x 5 cm

= 20 cm

2. Jika luas suatu bujur sangkar adalah 36 cm2 , berapa panjang sisi dan keliling bujur sangkar tersebut ?

Jawab:

· misal sisi adalah s

Luas = sisi x sisi = s x s = s²

Luas = 36 cm ²

S² = 36 cm²

S = √36 cm²

S = 6 cm Panjang sisi

· Keliling = 4 x sisi

= 4 x 6 cm = 24 cm

4. Jajar Genjang

Jajar genjang adalah segi empat yang sisinya sepasang-sepasang sama panjang dan sejajar serta sudut-sudut yang berhadapan sama besar.

Sifat-sifat jajar genjang :

Sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang.

· Kedua diagonal saling membagi dua sama besar (berpotongan ditengah)

Mempunyai 2 diagonal yang tidak sama panjang.
Dua sisi lainnya tidak saling tegak lurus.
Sudut yang saling berdekatan berpelurus.
Sudut-sudut yang berhadapan sama besar
Tidak mempunyai simetri lipat
Mempunyai 2 simetri putar

Contoh Soal Jajar Genjang :

1. Suatu jajaran genjang mempunyai panjang= 7 cm dan lebar= 5 cm, dan tinggi = 4 cm. Berapa keliling dan luas jajaran genjang tersebut ?

Jawab :

· Keliling = 7 + 5 + 7 + 5

= 24 cm

· Luas = alas x tinggi

= 7 cm x 4 cm

= 28 cm²

2. Bu Meri mempunyai kebun yang berbentuk jajar genjang. Luas kebun adalah 450 m²dan panjangnya 90 m. Berapa tinggi kebun Bu Meri ?

Jawab :

Luas = alas x tinggi

450 m²= alas x 90 m

Alas = 450 m²: 90 m

Alas = 5 m

Jadi, tinggi kebun Bu Meri adalah 5 m.

5. Trapesium

Trapesium adalah segi empat yang mempunyai sepasang sisi yang tepat berhadapan dan sejajar.

Sifat-sifat Trapesium :

Memiliki sepasang sisi berhadapan sejajar.
Tiap pasang sudut yang sisinya sejajar adalah berpelurus.
Memiliki 1 simetri putar

Jenis-jenis trapesium :

Trapesium Sembarang --> mempunyai sisi-sisi yang berbeda.
Trapesium Siku-siku --> mempunyai 2 sudut siku-siku.
Trapesium Sama kaki --> mempunyai sepasang kaki sama panjang, memiliki 1 simetri lipat, panjang diagonalnya sama.

Contoh Soal Trapesium :

1. Berapa luas dan keliling trapesium jika panjang AB=14cm, BC=6cm, CD=8cm, AD=5cm, dan tinggi 7cm?

Jawab:

· Luas = (AB + CD) x t / 2

= (14 cm + 8 cm) x 7cm / 2

= 77 cm²

· Keliling = AB + BC + CD + AD

= (14 + 6 + 8 + 5) cm

= 33 cm

6. Belah Ketupat

Belah Ketupat adalah segiempat yang kempat sisinya sama panjang.

Sifat-sifat Belah Ketupat :

Mempunyai 4 sisi sama panjang.
Sudut yang berhadapan besarnya sama dan dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya
Sisinya tidak tegak lurus.
Mempunyai 2 diagonal yang berbeda panjangnya.
Kedua diagonal belah ketupat saling membagi dua sama panjang dan saling berpotongan tegak lurus
Mempunyai 2 simetri lipat.
Mempunyai 2 simeteri putar.

Contoh Soal Belah Ketupat :

1. Panjang sisi belah ketupat = 5 cm, berapakah kelilingnya ?

Jawab :

· Keliling = 4 x sisi

= 4 x 5 cm

= 20 cm

2. Suatu bangun belah ketupat mempunyai panjang diagonal AC = 7cm, dan Panjang diagonal BD = 6 cm, berapa luas belah ketupat tersebut ?

Jawab :

Panjang AC = 7 cm

Panjang BD = 6 cm

Luas = ½ x AC x BD

= ½ x 7 cm x 6 cm

= 21 cm²

7. Layang - layang

Layang-layang adalah segiempat dengan dua pasang sisi yang berdekatan sama panjang.

Sifat-sifat Layang - layang :

Mempunyai 2 pasang sisi sama panjang.
Sudut yang berhadapan besarnya sama
Sisinya tidak tegak lurus.
Salah satu diagonal membagi dua sama panjang diagonal lainnya, maka kedua diagonal tersebut saling tegak lurus
Mempunyai 1 simetri lipat.
Mempunyai 1 simetri putar.

Contoh Soal Layang-Layang :

1. Panjang suatu diagonal layang-layang adalah 15 cm dengan luas 45 cm². Berapakah panjang diagonal layang-layang yang satunya ?

Jawab :

L = ½ x diagonal 1 x diagonal 2

45 cm²= ½ x 15 cm x diagonal 2

diagonal 2 = 2 x 45 cm²/ 15 cm

diagonal 2 = 6 cm

C. TEOREMA PHYTAGORAS

1. Pengertian

Pythagoras menyatakan bahwa : “Untuk setiap segitiga siku-siku berlaku kuadrat panjang sisi miring (Hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya”. Jika c adalah panjang sisi miring/hipotenusa segitiga, a dan b adalah panjang sisi siku-siku. Berdasarkan teorema Pythagoras di atas maka diperoleh hubungan:

c² = a² + b²

Dalil pythagoras di atas dapat diturunkan menjadi:

a² = c² – b²

b² = c² – a²

Catatan : Dalam menentukan persamaan Pythagoras yang perlu diperhatikan adalah siapa yang berkedudukan sebagai hipotenusa/sisi miring.

Contoh :

Tentukan rumus pythagoras dan turunan dari segitiga yang memiliki panjang sisi miring a dan sisi siku-sikunya b dan c.

Rumus Pythagoras : a² = b² + c²

Turunannya : b² = a² – c²

c² = a² – b²

2. Menghitung Panjang sisi segitiga siku-siku

Contoh :

1. Pada suatu segitiga ABC siku-siku di titik A. panjang AB= 4 cm dan AC= 3 cm.

Hitunglah panjang BC!

Jawab:
BC² = AC² + AB²

BC² = 3² + 4²

BC² = 9 + 16

BC² = 25

BC = 5 cm

2. Panjang sisi siku-siku dalam segitiga siku-siku adalah 4x cm dan 3x cm. Jika panjang sisi hipotenusanya 20 cm. Tentukan nilai x !

Jawab :

AC² = AB² + BC²

20² = (4x)² + (3x)²

400 = 16x² + 9x²

400 = 25x²

16 = x²

x = 4

3. Sebuah kapal berlayar ke arah Barat sejauh 80 km, kemudian ke arah utara sejauh 60 km. Hitunglah jarak kapal sekarang dari jarak semula.

Jawab:
OU² = OB² + UB²

OU² = 80² + 60²

OU² = 6.400 + 3.600

OU² = 10.000

OU = 100 km

3. Menentukan Jenis Segitiga jika Diketahui Panjang Sisinya dan Triple Pythagoras

1. Kebalikan Dalil Pythagoras

Dalil pythagoras menyatakan bahwa dalam segitiga ABC, jika sudut A siku-siku maka berlaku a²= b² + c². Dalam segitiga ABC, apabila a adalah sisi dihadapan sudut A, b adalah sisi dihadapan sudut B, c adalah sisi dihadapan sudut C, maka berlaku kebalikan Teorama Pythagoras, yaitu:

Jika a² = b² + c² maka segitiga ABC siku-siku di A.

Jika b² = a² +c² maka segitiga ABC siku-siku di B.

Jika c² = a² + b² maka segitiga ABC siku-siku di C.

Dengan menggunakan prinsip kebalikan dalil Pythagoras, kita dapat menentukan apakah suatu segitiga merupakan segitiga lancip atau tumpul.
Jika a² = b² + c² maka segitiga ABC adalah segitiga siku-siku.

Jika a² > b² + c² maka segitiga ABC adalah segitiga tumpul.

Jika a² < b² + c² maka segitiga ABC adalah segitiga lancip.

Contoh :

Tentukan jenis segitiga yang memiliki panjang sisi sbb :

· 5 cm, 7 cm dan 8 cm.

Jawab : sisi terpanjang adalah 8 cm, maka a= 8 cm, b = 7cm dan c = 5 cm

a² = 8² = 64

b² + c² = 7² + 5²

b² + c² = 49 + 25

b² + c² = 74

karena a² < b² + c², maka segitiga tersebut adalah segitiga lancip

· 8cm, 7cm dan 12 cm

Jawab : sisi terpanjang adalah 12 cm, maka a= 12 cm, b = 7cm dan c = 8 cm

a² = 12² = 144

b² + c² = 7² + 8²

b² + c² = 49 + 64

b² + c² = 113

karena a² > b² + c², maka segitiga tersebut adalah segitiga tumpul

2. Triple Pythagoras

Yaitu pasangan tiga bilangan bulat positif yang memenuhi kesamaan “kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat kedua bilangan yang lain.”
Contoh :

3, 4 dan 5 adalah triple Pythagoras sebab, 5² = 4² + 3²

4. Penerapan Teorema Pythagoras pada Bangun Datar

Contoh Soal

1. Perhatikan gambar belah ketupat ABCD di bawah ini !

Jika sisi belah ketupat tersebut 10 cm dan salah satu diagonalnya 16 cm. Hitunglah luas bangun belah ketupat di atas !

Penyelesaian :

Misalkan titik perpotongan diagonal AC dan BD di titik M, maka :

AM =

AM = 8 cm

Sekarang dengan menggunakan teorema Phytagoras cari panjang BM, yakni :

BM = ²– AM²)

BM = ²– 8²) BD = 2 x BM

BM = – 64) BD = 2 x 6 cm

BM = BD = 12 cm

BM = 6 cm

Untuk mencari luas belah ketupat, gunakan rumus luas belah ketupat yakni :

L =

L = 96 cm²

Jadi, luas bangun belah ketupat ABCD di atas adalah 96 cm²

2. Perhatikan bangun datar jajargenjang ABCD di bawah ini !

Jika diketahui panjang AD = 13 cm, CD = 20 cm, dan BE = 15 cm. Hitunglah luas jajargenjang ABCD tersebut !

Penyelesaian :

Cari panjang AE dengan menggunakan sifat-sifat jajargenjang, yakni :

AB = CD

AE + BE = CD

AE = CD – BE

AE = 20 cm – 15 cm

AE = 5 cm

Sekarang cari tinggi jajargenjang tersebut dengan menggunakan teorema Phytagoras, yakni :

DE = (AD² – AE²)

DE = (13² – 5²)

DE = (169 – 25)

DE =

DE = 12 cm

Luas jajargenjang dapat dicari dengan rumus luas jajar genjang, yakni :

L = a x t

L = AB x DE

L = 20 cm x 12 cm

L = 240 cm²

Jadi, luas jajargenjang ABCD tersebut adalah 240 cm²

3. Seorang anak menaikkan layang-layang dengan benang yang panjangnya 250 meter. Jarak anak di tanah dengan titik yang tepat berada di bawah layang-layang adalah 70 meter. Hitunglah ketinggian layang-layang tersebut.

Penyelesaian:

Jika digambarkan sketsanya, akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Di mana AB merupakan jarak anak di tanah dengan titik yang tepat berada di bawah layang-layang dan AC merupakan panjang benang. Tinggi layang-layang dapat dicari dengan teorema Pythagoras yakni:

BC = √(AC² – AB²)

BC = √(250² – 70²)

BC = √(62500 – 4900)

BC = √57600

BC = 240 m

Jadi, ketinggian layang-layang tersebut adalah 240 m

4. Dua buah tiang berdampingan berjarak 24 m. Jika tinggi tiang masing-masing adalah 22 m dan 12 m, hitunglah panjang kawat penghubung antara ujung tiang tersebut.

Penyelesaian:

Jika digambarkan sketsanya, akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Di mana AB merupakan tinggi tiang pertama, CE meruapakan tinggi tiang kedua dan AE merupakan panjang kawat penghubung antara ujung tiang pertama dengan tiang kedua, maka panjang kawat (AE) dapat dicari dengan teorema Pythagoras. Akan tetapi harus dicari terlebih dahulu panjang DE yakni:

DE = CE – AB

DE = 22 m – 12 m

DE = 10 m

Dengan menggunakan teorema Pythagoras, maka panjang AE yakni:

AE = √(AD² + DE²)

AE = √(24² + 10²)

AE = √(576 + 100)

AE = √676

AE = 26 m

Jadi, panjang kawat penghubung antara ujung tiang pertama dengan tiang kedua adalah 26 m.

LEMBAR KERJA

SISWA

Latihan 1

1. Diketahui segitiga dengan besar salah satu sudutnya 50o, maka tentukan beberapa kemungkinan besar ke dua sudut lainnya. Segitiga apakah itu? Jelaskan!

Jawaban: .............................................................................................................

.............................................................................................................................

2. Jika salah satu sudut segitiga 10o, maka segitiga tersebut pasti merupakan segitiga tumpul. Berikan satu contoh yang menyangkal pernyataan tersebut!

Jawaban: .............................................................................................................

.............................................................................................................................

3. Hitunglah keliling dinding yang berbentuk persegi panjang yang berukuran panjang 10 m dan lebar 5 m !

Penyelesaian :

Diket : Panjang (p) = .....

Lebar (l) = .....

Ditanya : Keliling (K) ?

Jawab : K = ...... + ...... = (..... x .....) + (..... x .....)

= ...... + ......

= ........

Jadi, keliling persegi panjang tersebut adalah ......... m

4. Luas sebuah kebun berbentuk persegi panjang adalah 5000 m² dan panjangnya 100 m². Hitunglah lebar dari kebun tersebut !

Penyelesaian :

Diket : Luas = ........., maka L = ........

Panjang = ........., maka p = ........

Ditanya : lebar (l)... ?

Jawab : L = ..... x .....

........ = ..... x .....

l = = ....... m

Jadi, lebar persegi panjang tersebut adalah ...... m.

5. Hitunglah keliling cermin berbentuk persegi yang panjang sisinya 6 m!

Penyelesaian :

Diket : Panjang sisi = ......., maka s = .......

Ditanya : keliling (K) .... ?

Jawab : K = .... x ....

= .... x ....

= ....... m

Jadi, keliling cermin tersebut adalah ....... m

6. Tentukanlah luas sawah berbentuk persegi yang memiliki keliling 32 m!

Penyelesaian :

Diket : Keliling = ......., maka K = .........

Ditanya : luas (L) ... ?

Jawab : K = ...... L = .....

= ..... x ..... = (.....) m²

= ..... m = ..... m²

Jadi, luas sawah tersebut adalah ..... m²

7. Hitunglah luas jajargenjang yang mempunyai alas 14 cm dan tinggi 9 cm !

Penyelesaian :

Diketahui : alas (a) = ..... cm

Tinggi (t) = ..... cm

Ditanya : Luas (L) ... ?

Jawab : Luas jajargenjang (L) = ..... x .....

= ..... x .....

= .....

Jadi, luas jajargenjang tersebut adalah ..... cm²

8. Hitunglah keliling jajargenjang berikut dengan a = 8 cm dan b = 13 cm !

Penyelesaian :

Diketahui : a = ..... cm, b = ..... cm

Ditanya : Keliling (k)... ?

Penyelesaian : Keliling = .... (....+.....)

= ..... (.....)

= .....

Jadi, keliling jajargenjang tersebut ..... cm²

9. Perhatikan gambar dibawah ini !

Diketahui panjang KL = 16 cm, panjang NM = cm. Panjang KN = 10 cm dan panjang LM = 5 cm. Hitunglah keliling trapesium KLMN tersebut!

Penyelesaian :

Diket : KL = ....., NM = ....., KN = ....., LM = .....

Ditanya : Keliling trapesium KLMN ?

Jawab : Keliling = ....................................

= ..... + ..... + ..... + .....

= (..... + ..... + ..... + .....) cm

= ..... cm

10. Perhatikan gambar dibawah ini!

Diketahui panjang UV= 20 m, panjang WX= 15 m dan panjang WY = 12 m. Hitunglah keliling trapesium UVWX tersebut!

Penyelesaian :

Diket : UV = ..... m, WX= ..... m, WY= ..... m

Ditanya : ........................ ?

Jawab : Luas = ..... x ( ........................... ) x .....

= ..... x (..... + .....) x .....

= ...... cm²

11. Diketahui panjang diagonal-diagonal sebuah belah ketupat berturut-turut 15 dan 12 cm. Tentukan luas belah ketupat tersebut !

Penyelesaian :

Diket : d1 = ....., d2 = .....

Ditanya : L ..... ?

Jawab : L = ..... x ..... x .....

= ..... x ..... x .....

= ..... cm²

Jadi luas belah ketupat itu adalah ..... cm²

12. Suatu belah ketupat memiliki panjang sisi 3a cm. Apabila keliling dari belah ketupat tersebut adalah 36 cm, maka tentukanlah nilai a !

Penyelesaian :

Diket : s = ....., K = .....

Ditanya : a ... ?

Jawab : K = ..... x ......

.... = ..... x .....

a =

a = ..... cm

13. Diketahui layang-layang KLMN dengan panjang KO = 16 cm, LO = 12 cm, dan MO = 24 cm seperti gambar berikut.

a. Tentukan panjang KL

b. Tentukan panjang MN

c. Hitung keliling KLMN

d. Hitung luas KLMN

Diket : KO = ..... cm, LO = ..... cm, MO = ..... cm

Ditanya : .................................... ?

Jawab : a. KL² = ..... + ..... b. MN² = ..... + .....

= ..... + ..... = ..... + .....

= ..... = .....

KL = Ö.... = .... MN = Ö.... = ....

c. Keliling = ..... + ..... + ..... + .....

= (..... + ..... + ..... + .....)

= .............. cm

d. Luas = ..... x ..... x .....

= ..... x ..... x .....

= .............. cm²

14. Tentukan nilai a, b, dan c pada gambar di bawah !

Jawaban: .............................................................................................................

.............................................................................................................................

15. Diberikan sebuah segitiga siku-siku pada gambar berikut ini:

Tentukan panjang sisi miring segitiga!

Penyelesaian :

Diket : AB = 6 cm

BC = 8 cm

Ditanya : AC = ......

Jawab : Mencari sisi miring sebuah segitiga dengan teorema

Pythagoras

AC = Ö(....)² + (....)²

AC = Ö...........

AC = ...... cm

Latihan 2

1. Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi miring sepanjang 35 cm dan sisi alas memiliki panjang 28 cm.

Tentukan luas segitiga tersebut!

Penyelesaian :

Diket : ..................................................................................................

..................................................................................................

Ditanya : ..................................................................................................

Jawab : ..................................................................................................

..................................................................................................

Jadi, luas segitiga tersebut ..... cm²

2. Keliling sebuah segitiga 49 cm. Jika panjang dua sisinya adalah 12 cm dan 20 cm, hitunglah panjang sisi ketiganya!

Penyelesaian :

Diket : ..................................................................................................

Ditanya : ..................................................................................................

Jawab : ..................................................................................................

..................................................................................................

3. Bentuk halaman rumah pak Danu adalah berupa gabungan dua bangun datar yang berbeda. Jika luas halaman itu adalah 200 m, gambarlah dua kemungkinan bentuk halaman itu !

4. Seorang atlet sedang berlari mengelilingi lapangan berbentuk persegi panjang. Lapangan tersebut berukuran panjang 160 meter dan lebar 80 meter. Bila atlet berlari mengelilingi lapangan satu kali, berapa meterkah jarak yang ditempuh atlet tersebut?

Penyelesaian :

Diket : ..................................................................................................

Ditanya : ..................................................................................................

Jawab : ..................................................................................................

..................................................................................................

5. Diketahui luas suatu meja berbentuk persegi panjang 24 m² dan panjang salah satu sisinya meja 8 m, hitunglah lebar dan keliling meja tersebut!

Penyelesaian :

Diket : ..................................................................................................

Ditanya : ..................................................................................................

Jawab : ..................................................................................................

..................................................................................................

6. Lengkapilah tebel berikut !

No	Panjang sisi	Keliling persegi	Luas persegi
1	11 cm	.... cm	.... cm²
2	15 cm	.... cm	.... cm²
3	.... m	36 m	.... cm²
4	.... m	84 km	.... cm²
5	.... km	.... km	49 m²

7. Sebuah taman berbentuk persegi. Di sekeliling taman itu ditanami pohon pinus dengan jarak antarpohon 3 m. Panjang sisi taman itu adalah 65 m. Berapakah banyak pohon pinus yang dibutuhkan? Jika harga 1 bibit pohon pinus Rp. 45.000, berapakah biaya yang dibutuhkan untuk seluruh bibit?

Penyelesaian :

Diket : ..................................................................................................

..................................................................................................

Ditanya : ..................................................................................................

Jawab : ..................................................................................................

..................................................................................................

8. Tentukan luas dari jajargenjang pada gambar berikut!

Jawab : ..................................................................................................

..................................................................................................

9. Perhatikan gambar berikut!

a. Tentukan keliling jajargenjang KLMN

b. Hitunglah luas jajargenjang KLMN

Jawab : ..................................................................................................

..................................................................................................

10. Perhatikan gambar dibawah ! Hitunglah keliling trapesium ABCD tersebut!

Penyelesaian :

Diket : AB = …... cm, BC = ….. cm,

CD = …... cm, DA= …... cm

Ditanya : …………… ?

Jawab : ..................................................................................................

..................................................................................................

11. Sebuah trapesium siku-siku mempunyai sisi-sisi sejajar 12 cm dan 24 cm. Jika tinggi trapesium 16 cm. Hitunglah luas trapesium tersebut!

Diket : ..................................................................................................

Ditanya : ..................................................................................................

Jawab : ..................................................................................................

..................................................................................................

12. Diketahui luas belah ketupat adalah 180 cm². Jika panjang salah satu diagonalnya 24 cm, tentukanlah panjang diagonal yang lain !

Diket : ..................................................................................................

Ditanya : ..................................................................................................

Jawab : ..................................................................................................

..................................................................................................

13. Perhatikan gambar dibawah!

Hitunglah keliling layang-layang PQRS tersebut!

Penyelesaian :

Diket : SR = ….... cm, SP = ….. cm,

PQ = …… cm, RQ = ….. cm

Ditanya : …………… ?

Jawab : ..............................................................................................

..............................................................................................

14. Danang akan membuat sebuah layang-layang. Ia menyediakan dua potong lidi yang digunakan sebagai kerangka dengan panjang diagonalnya masing-masing 40 cm dan 24 cm. Tentukan luas minimal kertas yang dibutuhkan untuk membuat layang-layang tersebut!

Diket : ..................................................................................................

Ditanya : ..................................................................................................

Jawab : ..................................................................................................

..................................................................................................

15. Tabel berikut menunjukkan panjang sisi-sisi beberapa segitiga siku-siku.Jika diketahui panjang dua dari tiga sisi segitiga siku-siku,kalian dapat secara langsung mencari panjang sisi yang ketiga dengan menggunakan teorema Pythagoras.Sekarang,hanya diberikan panjang sisi terpendek.Tentukan panjang dua sisi yang lain berdasarkan contoh yang disediakan.

a. Tentukan nilai yang belum diketahui pada Tabel tersebut dan buktikan bahwa teorema pythagoras dipenuhi !

b. Lanjutkan tabel tersebut untuk dua baris lagi dan buktikan bahwa teorema pythagoras dipenuhi !

Jawab : ..................................................................................................

..................................................................................................

KUMPULAN SOAL

1. Kamar Udin berukuran 4 m × 6 m akan dipasangi ubin ukuran 40 cm × 60 cm. Berapa ubin yang dibutuhkan?

Jawab:

Luas kamar = 4 m x 6m = 240 m² = 240.000 cm2

Ubin ukuran 40 cm × 60 cm = 2.400 cm²

Banyak ubin yang dibutuhkan sebanyak = 240.000 : 2.400 = 100 ubin

2. Perhatikan gambar berikut!

Tentukan banyaknya segi empat yang terbentuk!

Jawab:

Banyak segi empat yang terbentuk = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15

Dengan memperhatikan gambar di atas, ada berapa belah ketupat pada a₁₀₀ ?

Jawab:

Pola untuk menemukan belah ketupat yang ke-n, yaitu: a_n = 2 x n

Jadi banyak belah ketupat pada a₁₀₀ = 2 x 100 = 200

4. Perhatikan gambar Trapesium berikut!

Jika DC : AB = 3 : 5, tentukan panjang DC!

Jawab:

DC = = 15 cm

5. Pada gambar nomor 4, tentukan besar ÐD!

Jawab:

mÐA + mÐD = 180⁰

90⁰ + mÐD = 180⁰

mÐD = 180⁰ - 90⁰ = 90⁰

6. Perhatikan gambar berikut.

a. Tentukan panjang AD dan CD.

b. Tentukan besar ÐABC dan ÐCDA.

Sebutkan pasangan diagonal yang sama

panjang.

Sebutkan ruas garis yang sama panjang dengan

AD.

Jawab:

a. Panjang AD = Panjang BC = 8 cm

Panjang CD = Panjang BA = 12 cm

b. Besar ÐABC = 90⁰ dan ÐCDA = 90⁰

c. Pasangan diagonal yang sama adalah AC dan BD

d. Ruas garis yang sama panjang dengan AD adalah BC

7. Kebun bunga Indah terdiri dari beberapa petak. Petak I berbentuk persegi dengan luas 625 m². Petak II berbentuk persegipanjang dengan panjang 50 m dan luasnya = 1/5 dari luas petak I.

Ditanya:

a. Berapa panjang petak I?

b. Berapa lebar dan luas petak II?

c. Berapa hektar kebun bunga Indah seluruhnya?

Jawab:

a. Petak I berbentuk persegi berarti panjang dan lebarnya sama panjang.

Luas petak I = 625 m2

Luas I = sisi × sisi

625 = r²

r² = 625

r = 25 m

b. Petak II berbentuk persegi panjang

Panjang petak II = 50 m

Luas petak II = 1/5 dari luas petak I

= 1/5 × 625 = 125 m

c. Luas kebun bunga seluruhnya = Luas petak I + Luas petak II

= 625 + 125 = 750 m² = 0,075 hektar

8. Pak Amal memiliki sebidang tanah kosong berbentuk daerah persegi panjang. Panjang tanah 50 m dan lebarnya 30 m. tentukan luas tanah Pak Amal dalam satuan are!

Jawab:

Luas tanah = 50 x 30 = 1.500 m² = 15 are

9. Sebuah persegi panjang berukuran panjang 6 cm dan lebar 5 cm. Berapa banyak persegi satuan yang dapat menutupi daerah permukaan persegi panjang tersebut?

Jawab:

L persegi panjang = 6 x 5 = 30 cm²

Maka banyak persegi yang dapat menutupi daerah permukaan persegi panjang adalah 30 satuan

10. Misalkan KLMN adalah sebuah persegi yang memiliki panjang sisi r cm dan ABCD adalah sebuag persegi panjang dengan panjang sisi AB = p cm dan panjang sisi CD adalah l cm. Buktikan jika keliling panjang adalah 2 kali keliling persegi panjang maka

Jawab:

Luas persegi panjang ABCD = p x l

Luas persegi KLMN = r x r = r²

Keliling persegi panjang ABCD = 2p x 2l

Keliling persegi KLMN = 4r

Diketahui keliling persegi ABCD = 2 kali keliling persegi panjang ABCD, maka

2 (2p x 2l) = 4r

4p + 4l = 4r

p + l = r

p = r – l

(terbukti)

11. Tentukan 5 ukuran persegi panjang yang mungkin, jika diketahui luas persegi panjang tersebut 50 cm²!

Jawab:

Tabel kemungkinan ukuran persegi panjang

Panjang	Lebar	Luas
10 cm	5 cm	50 cm²
5 cm	10 cm	50 cm²
2,5 cm	20 cm	50 cm²
1 cm	50 cm	50 cm²
50 cm	1 cm	50 cm²

12.

Perhatikan jajargenjang di samping!

Jika AB = 20 cm, BC = 12 cm, BE = 16 cm, dan DC = (2x + 4) cm, maka tentukan: a. nilai x

b. keliling jajargenjang ABCD

c. Luas jajargenjang ABCD

Jawab:

a. AB = DC, maka b. AB = CD – 20 c. BC = AD = 12, maka

20 = 2x + 4 akibatnya BC = AD – 12, maka L = AD x BE

20 – 4 = 2x K = 2 AB + 2 BC = 12 x 16 = 192 cm²

x = 8 = 40 + 24 = 64 cm

13. Sebuah model kerangka perahu dibuat dari seng berbentuk persegi panjang yang ditarik menjadi bentuk trapesium siku-siku seperti gambar berikut!

Jika panjang OB = 3 m, panjang AB = 5 m dan panjang BC = p m. Berapakah luas persegi panjang sebelum dijadikan model perahu?

Jawab:

Dengan Dalil Pythagoras diperoleh:

AB² = AO² + OB²

5² = AO² + 3²

AO² = 25 – 9 = 16

AO = 4

Panjang AD = AO + OD. Karena panjang OD = BC, maka AD = AO + BC. Sehingga AD = 4 + p.

Jadi luas persegi panjang mula-mula sebelum dibuat model kapal adalah (p + 4) m².

14. Tentukan luas dan keliling trapesium yang disajikan pada gambar berikut!

Jawab:

Bangun I dipindah ke samping bangun II sehingga menjadi gambar di bawah ini.

L = p x l

= 10 x 6 = 60

K = 2 (6) + 2 (10)

= 12 + 20 = 32 satuan

15. Empat buah titik koordinat, yaitu A(-4,-3), B(2,-3), C(4,4), D(-2,4). Bangun apakah yang terbentuk? Tentukan luasnya!

Jawab:

Terbentuk bangun jajargenjang.

Luas = panjang alas x tinggi

= 6 x 7 = 42 satuan

16. Diberikan enam lingkaran dengan jari-jari r dalam sebuah daerah trapesium ABCD samakaki dan panjang AD = 5r. Buktikan bahwa luas daerah yang diarsir adalah 6r²(6-p)!

Jawab:

Karena ABCD adalah trapesium sama kaki, maka mÐAOD = 90⁰

OD = 4r, DC = 6r dan AD = 5r

= 3r

Karena ABCD adalah trapesium sama kaki, luasnya adalah:

L = AO x OD + DC x OD = 3r x 4r + 6r x 4r = 12r² + 24r² = 36r²

Luas 6 lingkaran berjari-jari r adalah 6pr²

Luas yang diarsir = Luas trapesium – Luas daerah lingkaran

= 36r² - 6pr²

= 6r²(6-p) → terbukti

17. Hitunglah keliling segitiga dengan panjang sisi-sisinya sebagai berikut.

a. 4,5 cm; 7,5 cm; dan 5,5 cm

b. 8 cm; 16 cm; dan 12 cm

c. 25 cm; 35 cm; dan 20 cm

Jawab:

Mencari keliling segitiga dapat dilakukan dengan menjumlahkan seluruh sisi dari segitiga, maka:

a. 4,5 cm + 7,5 cm + 5,5 cm = 17,5 cm

a. 8 cm+ 16 cm + 12 cm = 36 cm

b. 25 cm + 35 cm + 20 cm = 80 cm

18. Hitunglah luas daerah masing-masing segitiga pada gambar di bawah ini.

Jawab:

(i) ΔABC = ½ x alas x tinggi

L.ΔABC = ½ x AB x BC

L.ΔABC = ½ x 8 cm x 6 cm = 24 cm²

(ii) L.ΔDEF = ½ x alas x tinggi

L.ΔDEF = ½ x 12 cm x 6 cm = 36 cm²

(iii) L.ΔPQR = ½ x alas x tinggi

L.ΔPQR = ½ x 16 cm x 4 cm = 32 cm²

(iv) L.ΔSTU = ½ x alas x tinggi

L.ΔSTU = ½ x ST x RU

L.ΔSTU = ½ x 5 cm x 4 cm = 10 cm²

19. Diketahui segitiga ABC dengan garis tinggi AD seperti gambar berikut:

Jika ∠BAC = 90°, AB = 4 cm, AC = 3 cm, dan BC = 5 cm, tentukan luas segitiga ABC dan panjang AD.

Jawab:

Karena ∠BAC = 90° salah satu kaki sudutnya bisa dijadikan tinggi atau alas, maka

L.ΔABC = ½ x alas x tinggi

L.ΔABC = ½ x AB x AC

L.ΔABC = ½ x 4 cm x 3 cm = 6 cm²

Panjang AD dapat dicari dengan konsep luas segitiga yaitu:

L.ΔABC = ½ x alas x tinggi

L.ΔABC = ½ x BC x AD

6 cm² = ½ x 5 cm x AD

AD = 6 cm²/2,5 cm = 2,4 cm

20. Diketahui luas sebuah segitiga adalah 165 cm² dan panjang alasnya 22 cm. Hitunglah tinggi segitiga.

Jawab:

L.Δ = ½ x alas x tinggi

165 cm² = ½ x 22 cm x tinggi

165 cm² = 11 cm x tinggi

tinggi = 165 cm²/11 cm = 15 cm

21. Perhatikan gambar berikut:

Hitunglah

a. luas segitiga ABD;

b. luas segitiga BCD;

c. luas bangun ABCD.

Jawab:

L.ΔABD = ½ x alas x tinggi

L.ΔABD = ½ x AB x DE

L.ΔABD = ½ x 14 cm x 9 cm = 63 cm²

L.ΔBCD = ½ x alas x tinggi

L.ΔBCD = ½ x CD x DE

L.ΔBCD = ½ x 24 cm x 9 cm = 108 cm²

L.ABCD = L.ΔABD + L.ΔBCD

L.ABCD = 63 cm² + 108 cm² = 171 cm²

22. Sebidang tanah berbentuk segitiga dengan panjang tiap sisi tanah berturut-turut 4 m, 5 m, dan 7 m. Di sekeliling tanah tersebut akan dipasang pagar dengan biaya Rp 85.000,00 per meter. Berapakah biaya yang diperlukan untuk pemasangan pagar tersebut?

Jawab:

KΔ = 4 m + 5 m + 7 m = 16 m

Karena biaya yang diperlukan Rp 85.000,00/m, maka:

Biaya = 16 m x Rp 85.000,00/m = Rp 1.360.000,00

Jadi biaya yang diperlukan untuk pemasangan pagar tersebut adalah Rp 1.360.000,00

23. Sebuah taman berbentuk segitiga sama kaki dengan panjang sisi yang sama 15 m, panjang sisi lainnya 12 m, dan tinggi 7 m. Jika taman tersebut akan ditanami rumput dengan biaya Rp. 60.000/m², hitunglah keseluruhan biaya yang diperlukan.

Jawab:

L.Δ= ½ x alas x tinggi

L.Δ = ½ x 12 m x 7 m = 42 m²

Karena biaya yang diperlukan adalah Rp. 60.000/m² maka biaya totalnya adalah

Biaya total = L.Δ x biaya per meter persegi

Biaya total = 42 m² x Rp. 60.000/m² = Rp.2.520.000,00

Jadi keseluruhan biaya yang diperlukan adalah Rp.2.520.000,00

24.              Perhatikan gambar persegipanjang ABCD berikut!
Tentukan:
a) Luas persegipanjang
b) Keliling persegipanjang
Jawab
a) Luas persegipanjang                    b) Keliling persegipanjang
     L = p × l                              K = 2 × (p + l)
     L = 6 cm × 4 cm = 24 cm²K = 2 × (6 + 4) = 2 x 10 = 20 cm

25. Pak Subur memiliki sebidang kebun berbentuk persegipanjang dengan luas 2 hektar. Jika lebar kebun adalah 125 m, tentukan panjang kebun pak Subur tersebut!
Jawab:

L = 2 hektare = 20000 m²
l = 125 m
p = L : l
p = 20000 : 125
p = 160 m

26. Selembar kain bentuk persegipanjang memiliki ukuran perbandingan panjang dan lebar adalah 3:2. Jika luas penampang kain adalah 54 m² tentukan panjang dan lebar kain tersebut!

Jawab:

Misalkan panjangnya adalah 3x dan lebarnya adalah 2x
Luas = p x l
54 = (3x)(2x)
54 = 6x²
x² = 54/6
x² = 9
x = 3
Sehingga:
panjang = 3x = 3(3) = 9 meter
lebar = 2x = 2(3) = 6 meter

27. Sebuah persegi memiliki sisi sepanjang 6 cm. Tentukan luas dan keliling persegi tersebut!
Jawab:

L = s x s
L = 6 x 6 = 36 cm²
K = 4 x s
K = 4 x 6 = 24 cm²

28. Gambar berbentuk persegi panjang berukuran 40 cm x 50 cm dipasang pada bingkai berbentuk persegi dengan panjang sisi 60 cm! Tentukan luas daerah yang tidak tertutup gambar!
Jawab

Luas Bingkai = 60 x 60 = 3600 cm²
Luas Lukisan = 40 x 50 = 2000 cm²
Luas area yang tidak tertutup = 3600 – 2000 = 1600 cm²

29. Pada gambar di samping diketahui Δ KLM sama kaki dengan LM = 13 cm dan MN = 5 cm. Jika sudut KLN = 20°, tentukan besar sudut MLN, panjang KL dan MK.

Jawab:

Dari gambar dapat diketahui sudut MLN = sudutKLN = 20°. Jadi, besar sudut MLN = 20°.

Karena Δ KLM sama kaki, maka KL = LM = 13 cm. Pada Δ KLM, LN adalah sumbu simetri, sehingga MK= 2 x MN (MN = NK) = 2 x 5 cm = 10 cm. Jadi, panjang KL = 13 cm dan panjang MK = 10 cm.

30. Berdasarkan gambar berikut, tentukan nilai x° dan y°.

Jawab:

80° + 60° + x° = 180° (sudut dalam segitiga)

140° + x° = 180°

x° = 180° – 140° = 40°

x° + y° = 180° (berpelurus)

40° + y° = 180°

y° = 180° – 40° = 140°

Jadi, nilai x° = 40° dan y° = 140°.

31. Sebuah syal berbentuk segitiga sama kaki dengan panjang sisi yang sama 12 cm dan panjang sisi lainnya 30 cm. Jika tinggi syal tersebut 9 cm, tentukan keliling syal dan luas syal.

Jawab:

Dari keterangan pada soal di atas, dapat digambarkan sebagai berikut

Keliling syal = 12 cm + 12 cm + 30 cm = 54 cm

Luas syal = ½ x alas x tinggi
Luas syal = ½ x 30 cm x 9 cm
Luas syal = 135 cm

32. Hitunglah keliling dan luas persegi panjang yang berukuran panjang 12 cm dan lebar 8 cm.

Jawab:

Keliling = 2(p + l)

Keliling = 2(12 + 8)

Keliling = 2 x 20 = 40 cm

Luas (L) = p x l

Luas (L) = 12 x 8 = 96 cm²

33. Berikut ini adalah gambar dua segitiga

Apakah kedua segitiga tersebut kongruen? Buktikan!

Jawab:

Perhatikan ∆PQR dan ∆XYZ

PQ = YX

ÐY = 180⁰ – 30⁰ – 30⁰ = 120⁰

ÐP = ÐY

PR = YZ

Jadi, ∆PQR dan ∆XYZ kongruen karena mempunyai dua sisi yang sama, yaitu PQ = YX

dan PR = YZ, serta 1 sudut yang sama yaitu ÐP = ÐY (sisi, sudut, sisi)

Jawab:

Lihat ∆MKL dan ∆TRS

ÐK = ÐR

ÐL = ÐS

ÐM = ÐT

KL ¹ RS

Walaupun ketiga sudut kedua segitiga tersebut sama, tetapi 1 sisi yang bersesuaian, yaitu sisi KL dengan RS tidak sama panjang. Sehingga kedua segitiga tersebut TIDAK kongruen.

34. Lihatlah gambar di bawah ini !

Apakah kedua segitiga di atas kongruen? Buktikan!

35. Diberikan sebuah segitiga siku-siku pada gambar berikut ini:

Tentukan panjang sisi miring segitiga!

Jawab:
Mencari sisi miring sebuah segitiga dengan teorema pythagoras:

36. Diberikan sebuah segitiga siku-siku pada gambar berikut ini:

Tentukan panjang sisi alas segitiga!
Jawab:

Menentukan salah satu sisi segitiga yang bukan sisi miring:

37. Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi miring sepanjang 35 cm dan sisi alas panjangnya 28 cm.

Tentukan luas segitiga tersebut!
Jawab:

Tentukan tinggi segitiga terlebih dahulu:

Luas segitiga adalah setengah alas dikali tinggi sehingga didapat hasil:

38. Perhatikan gambar segitiga berikut!

Tentukan panjang sisi AB!
Jawab:
Perbandingan panjang sisi-sisi pada segitiga siku-siku dengan sudut 45° adalah sebagai berikut:

Bandingkan sisi-sisi yang bersesuaian didapat:

39. Perhatikan gambar segitiga ABC berikut ini!

Jika panjang AC 12√3 cm dan sudut C sebesar 30°, tentukan panjang AB dan panjang BC!
Jawab:

Lihat perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku yang mengandung sudut 30° dan 60° kemudian kita buat perbandingan dengan segitiga ABC:

Dari sisi-sisi yang bersesuaian diperoleh:

40. Perhatikan gambar!

Panjang AD adalah....
Jawab:

Tentukan panjang AC dari segitiga ABC terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan dengan mencari panjang AD dari segitiga ACD, keduanya adalah sisi miring pada masing-masing segitiga.

41. Perhatikan gambar berikut!

Panjang AB = BC = 8 cm dan CD = AD = 6 cm. Panjang AC adalah …..
Jawab:

Perhatikan segitiga ABD, yang siku-siku di A.
Dengan pythagoras akan ditemukan panjang BD = 10 cm. Terlihat segitiga ABD dengan alas BD = 10 cm dan tinggi t yang belum diketahui. Putar sedikit segitiga ABD hingga seperti gambar dibawah.

Setelah diputar, DA = 6 cm menjadi alas dan AB = 8 cm menjadi tingginya. Dengan prinsip bahwa luas satu segitiga itu sama meskipun mengambil alas dan tinggi yang berbeda, diperoleh nilai tinggi sebelum segitiga diputar.

42. Diketahui keliling belahketupat 52 cm dan salah satu diagonalnya 24 cm. Luas belahketupat ABCD adalah....

Jawab:
Panjang sisi belahketupat AB = BC = CD = DA = 52:4 = 13 cm

Jika AC = 24, maka panjang AE = 12 cm. Gunakan pythagoras untuk mendapatkan panjang BE, diperoleh BE = 5 cm, sehingga diagonal BD = 10 cm
Luas belah ketupat = (AC x BD) / 2 = (24 x 10) / 2 = 120 cm²

43. Berikut ini adalah ukuran sisi-sisi dari empat buah segitiga :
I. 3 cm, 4 cm, 5 cm
II. 7 cm, 8 cm, 9 cm
III. 5 cm, 12 cm, 15 cm
IV. 7 cm, 24 cm, 25 cm
Yang merupakan ukuran sisi segitiga siku-siku adalah....
Jawab:

Angka-angka yang memenuhi pythagoras / tripel pythagoras / tigaan pythagoras diantaranya:
3, 4, 5 dan kelipatannya seperti (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20) dan seterusnya.
5, 12, 13 dan kelipatannya.
7, 24, 25 dan kelipatannya
8, 15, 17 dan kelipatannya
9, 40, 41 dan kelipatannya
11 ,60, 61 dan kelipatannya
12, 35, 37 dan kelipatannya
13, 84, 85 dan kelipatannya
15, 112, 113 dan kelipatannya
16, 63, 65 dan kelipatannya
17, 144, 145 dan kelipatannya
19, 180, 181 dan kelipatannya
20, 21, 29 dan kelipatannya
20, 99, 101 dan kelipatannya
dan seterusnya, sehingga yang merupakan ukuran sisi segitiga siku-siku adalah I dan IV.

44. Diberikan sebuah segitiga siku-siku samakaki seperti gambar!

Jika panjang sisi miring segitiga adalah 80, tentukan panjang x.
Jawab:
Teorema pythagoras untuk segitiga di atas:

45. Hitunglah luas dari bangun layang-layang di bawah ini:

Jawab:
Karena diagonal EG dan FH berpotongan di titik M, maka kita cari dulu panjang EM = ½ x EG = ½ x 16 = 8 cm

Gunakan teorema pythagoras untuk mengetahui panjang FM dan HM.

= = 12,6 cm

= = 18,3 cm

Panjang diagonal FH adalah:
FH = FM + HM
FH = 12,6 + 18,3
FH = 30,9 cm

Luas layang-layang tersebut:

L = ½ x d1 x d2

L = ½ x EG x FH

L = ½ x 16 x 30,9

L = ½ x 494,4

L = 247,2 cm²

46. Perhatikan gambar belah ketupat berikut ini:

Apabila diketahui panjang sisi belah ketupat PQRS adalah 15 cm dan panjang salah satu diagonalnya adalah 24 cm, Maka berapakah luas dari belah ketupat tersebut?

Jawab:

Apabila perpotongan diagonal PR dan QS pada belah ketupat itu ada pada titik X, maka:

PX = ½ x PR

PX = ½ x 24

PX = 12 cm

Panjang QX:

= √81 = 9 cm

QS = 2 x QX

QS = 2 x 9

QS = 18 cm

Luas belah ketupat tersebut:

L = ½ x d1 x d2 = ½ x 24 x 18 = ½ x 432 = 216 cm²

47. Amatilah gambar trapesium berikut ini:

Apabila diketahui panjang sisi PR = 40 cm, RS = 40 cm, dan PQ= 64 cm. Berapakah luas dari trapesium di atas?

Jawab:

Trapesium tersebut merupakan trapesium sama kaki maka PR = QS, PT= UQ dan RS = TU, sehingga:

Panjang PT = PQ – TU – UQ

Panjang PT = 64 cm – 40 cm – UQ

Karena UQ = PT, maka:

2 x PT= 24 cm

PT = 12 cm

Tinggi trapesium:

= √1456 = 38,15 cm

Luas trapesium:

L = ½ x jumlah sisi sejajar x tinggi

L = ½ x (PQ + RS ) x RT

L = ½ x (64 cm + 40 cm) x 38,15 cm

L = ½ x 3967,6

L = 1983,8 cm²

48. Hitunglah luas jajargenjang berikut ini:

Panjang PT:

PQ = RS

PT + TQ = RS

PT = RS - TQ

PT = 30 - 25

PT = 5 cm

= √504 = 22,4 cm

L = a x t = PQ x ST = 30 cm x 22,4 cm = 673,4 cm²

49. Belah ketupat PQRS memiliki panjang diagonal masing-masing 10 cm dan 15 cm. Tentukan luas belah ketupat PQRS tersebut

Jawab:

L = ½ x diagonal 1 x diagonal 2 = ½ x 10 x 15 = 75 cm²

50. Misalkan ABCD sebuah belah ketupat dengan luas 24 cm² dan panjang AD = 5 cm. Hitunglah keliling belah ketupat dan panjang diagonal-diagonalnya!

Jawab:

Keliling = 4 x 5 = 20 cm

OC = x cm, diperoleh AC = 2x dan OD = y cm, maka BD = 2y cm.

48 = 4xy

xy = 12

Karena xy = 12 dan x + y = 7, maka yang memenuhi adalah x = 3 dan y = 4

Jadi, panjang AC = 2 x OC = 2 x 3 = 6 cm

panjang BD = 2 x OD = 2 x 4 = 8 cm

SOAL PILIHAN

SOAL

1. Misalkan KLMN adalah sebuah persegi yang memiliki panjang sisi r cm dan ABCD adalah sebuag persegi panjang dengan panjang sisi AB = p cm dan panjang sisi CD adalah l cm. Buktikan jika keliling panjang adalah 2 kali keliling persegi panjang maka

2. Tentukan luas dan keliling trapesium yang disajikan pada gambar berikut!

3. Hitunglah keliling segitiga dengan panjang sisi-sisinya sebagai berikut.

d. 4,5 cm; 7,5 cm; dan 5,5 cm

e. 8 cm; 16 cm; dan 12 cm

f. 25 cm; 35 cm; dan 20 cm

4. Sebidang tanah berbentuk segitiga dengan panjang tiap sisi tanah berturut-turut 4 m, 5 m, dan 7 m. Di sekeliling tanah tersebut akan dipasang pagar dengan biaya Rp 85.000,00 per meter. Berapakah biaya yang diperlukan untuk pemasangan pagar tersebut?

5. Diberikan sebuah segitiga siku-siku pada gambar berikut ini:

Tentukan panjang sisi miring segitiga!

DAFTAR PUSTAKA

1. Rosida Manik, D (2009). Penunjang Belajar Matematika. Jakarta : Pusat

Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

2. Wagiyo, A. dkk. (2008). Pegangan Belajar Matematika 1. Jakarta : Pusat

Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

3. Nuharini, D. dan Wahyuni, T. (2008). Matematika Konsep dan Aplikasinya.

Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Icha - cha

Minggu, 24 April 2016

MAKALAH BANGUN DATAR

1 komentar: